pembahasan kalkulus dasar I

Teorema E

(Aturan jumlah) jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f + g)’(x) = f(x) + g(x) – yakni

D[f(x) + g(x)] = Df(x) +Dg(x)

Bukti: Andai F(x) =f(x) + g(x) maka

F’(x) = Lim [f(x +h) + g(x + h)] – [ f(x) – g(x)]

h→0 h

= lim f(x +h) – f(x) + g(x + h)] – g(x)

h→0 h h

= lim f(x +h) – f(x) + lim g(x + h)] – g(x)

h→0 h h→0 h

F ’(x) =f ’(x) + g ’(x)

Teorema F

(Aturan selisih) jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f - g)’(x) = f(x) - g(x) – yakni

D[f(x) - g(x)] = Df(x) +Dg(x)

Teorema G

(Aturan hasilkali) jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f . g)’(x) = f(x)g ’(x) + g(x)f ’(x) – yakni

D[f(x)g(x)] = f(x)Dg(x) +g(x)Df(x)




Teorema H

(Aturan hasil bagi) jika f dan g fungsi-fungsi yang dapat diferensialkan dengan g(x) ≠ 0. maka

f (x) = g(x)f ’(x) - f(x)g ’(x) Yaitu

g g2

D f(x) = g(x)Df(x) - f(x)Dg(x)

g(x) g2(x)


Anti turunan (Integral tak-tentu)

Jika saya mengenakan sepatu saya, saya dapat melepasnya lagi. Operasi yang kedua menghapus yang Pertama, mengembalikan sepatu pada posisinya yang semula, kita katakana dua operasi tersebut adalah operasi balikan (inverse). Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan Pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma.

Definisi

Kita sebut F anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F ’(x) = f(x) untuk semua x dalam I.Jika x suatu titik ujung dari I,F ’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi

NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN

Teorema A

(Aturan Pangkat) jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ xr dx = xr-1 + C

r + 1

Bukti Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk

∫f(x) dx = F(x) + C

Adalah cukup dengan membuktikan

Dx [F(x) + C] = f(x)

Dalam kasus ini kita

Dx xr-1 + C = 1 (r + 1) xr = xr

r + 1 r + 1

kita akan membuat dua komentar mengenai Teorema A pertama, dimaksudkan untuk mencakup kasus r = 0, yakni

∫ 1 dx = x + C

Kedua karena selang I tidak dirinci maka kesimpulan sahih untuk sebarang selang pada mana xr terdefenisi. Secara khusus kita harus mengecualikan selang yang mengandung titik asal kia r <>

Teorema B

sin x dx = - cos x + C ∫cos x dx = sin x + C

Bukti Ringkasnya ingat bahwa Dx (-cos x) = sin x dan Dx (sin x) = cos x

Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cara penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz kita seringkali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti Tanda integral dan f(x) disebut integran. Jadi kita mengengintegralkan integran dan karena itu mendapatkan integral tak tentu.

Teorema C

(kelinearan dari ∫ . . . dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta; maka:

i. ∫kf(x) dx = kf(x) dx

ii. ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

iii. ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx

Bukti untuk memperlihatkan i dan ii kita cukup mendefensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri

Dx [k ∫f(x) dx] = kDx ∫ f(x) dx = kf(x)

Dx [∫ f(x) dx + g(x) dx ] dx = Dx ∫ f(x) dx + Dx ∫ g(x) dx

= f(x) + g(x)

Teorema D

Aturan Pangkat yang diperumum.andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1 maka

∫[g(x) ] r g’(x) dx = [g(x)] r + 1 +C

r + 1

Turunan Fungsi Trigonometri

Tan x = sin x Cot x = cos x

Cos x sin x

Sec x = 1 csc x = 1 .

cos x sin x

Dengan Aturan turunan hasil bagi fungsi, kita dapat menurunkan fungsi-fungsi tersebut diatas.Misalnya

Dx cot x = Dx cos x = sin x(-sin x) – cos x cos x

Sin x sin 2 x

= -1 = - csc 2 x

sin 2 x

Di bawah ini disajikan rangkuman turunan fungsi-fungsi trigonometri. Sebaiknya anda mengingatnya.

Dx sin x = cos x Dx cos x = - sin x

Dx tan x = sec 2 x Dx cot x = - csc 2 x

Dx sec x = sec x tan x Dx csc x = - csc x cot x

FUNGSI-FUNGSI KOMPOSIT. Aturan di atas dapat kita rangkaikan dengan Aturan rantai untuk memperoleh turunan fungsi u yang rumit misalnya, kalau u = f(x) dapat didiferensialkan, maka

Dx sin u = cos u . Dx u

INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI. Berdasarkan teorema fungsi invers kita dapat menarik kesimpulan bahwa sin -1, cos -1, tan -1 dan sec -1 dapat diturunkan. Tujuan kita adalah menemukan rumus-rumus untuk turunan mereka. Kita tulis rumusnya dan kemudian buktinya.

i. Dx sin -1 x = 1 , -1 <>

√1- x2

ii. Dx cos-1 x = 1 , -1 <>

√1- x2

iii. Dx tan-1 x = 1 ,

√1+ x2

iv. Dx sec-1 x = 1 , ‌‌ |x| > 1

|x| √x2 - 1

Pembuktian untuk tiap kasus hamper serupa.misalnya untuk I. andaikan y = sin -1 maka

x = sin y

sekarang Kedua ruas dideferensialkan menurut x dengan menggunakan Aturan rantai ruas kiri kanan sehingga

1 = cos y Dx y= cos(sin -1 x)Dx(sin -1 x)

= √1- x2 Dx (sin -1 x)

Sebagai langkah terakhir kita menggunakan persamaan cos(sin -1 x) = √1- x2 sehingga kita peroleh

Dx (sin -1 x) = 1/√1- x2

Hasil ii, iii, dan iv di atas dapat dibuktikan dengan cara serupa. Untuk iv ada hal yang lain sedikit yaitu: andaikan y= sec -1 x maka

x = sec y

Ruas kiri dan kanan kita turnkan menurut x, kita peroleh

1 = sec y tan y Dx y

= sec(sec -1 x)tan(sec -1 x)Dx(sec -1 x)

= x (±√x2 - 1)Dx (sec -1 x)

Untuk langkah terakhir kita gunakan persamaan tan (sec -1 x) = ±√x2 – 1 dan kita menggunakan Tanda positif x > 1 dan Tanda negatif x < -1 sehingga

1 = ± x √x2 - 1Dx (sec -1 x)

= |x|√x2 - 1)Dx (sec -1 x)

Dengan demikian terbuktilah (iv)

Beberapa integral trigonometri

Apabila kita menggunakan metode Substitusi dan dibarengi dengan pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat maka kita dapat mengintegralkan banyak benruk trigonometri. Kita Perhatikan terlebih dahulu 5 jenis integral yang sering muncul

1. ∫ sin n dx dan cos n dx Perhatikan pertama apabila n bilangan bulat ganjil dan positif.

Setelah kita mengeluarkan factor sin x atau cos x gunakan kemudian kesamaan sin 2 x + cos 2x = 1

2. ∫ sin m x cos n x dx apabila m atau n ganjil positif sedangkan eksponen yang lain bilangan sebarang kita keluarkan sin x atau cos x dan menggunakan kesamaan sin 2 x + cos 2x = 1
3. ∫ tan n x dx dan ∫ cot n x dx dalam kasus tangent, keluarkan factor tan 2 x = sec 2x -1; dalam kasus kotangen keluarkan cot 2 x = csc 2x - 1
4. ∫ tan m x sec n x dan ∫ cot m x csc n x dx
5. ∫ sin mx cos nx dx ∫ sin mx sin nx dx ∫ cos mx cos nx dx. Integral jenis ini digunakan dalam teori arus listrik bolak-balik, teori perpindahan panas, dan dalam teori-teori yang menggunakan deret fouter. Untuk menyelesaikan integral tersebut kita gunakan kesamaanberikut

Sin mx cos nx = ½ [sin(m + n)x + sin (m – n)x]

Sin mx sin nx = - ½ [cos(m + n)x – cos(m – n)x]

Cos mx cos nx = ½ [cos(m + n)x + cos (m – n)x]